約数と倍数の違いは？意味と見分け方も解説！（割る数と割られる数：大小関係：無限と有限：公約数・公倍数：小学生向けなど）

約数と倍数の違いは？意味と見分け方も解説！（割る数と割られる数：大小関係：無限と有限：公約数・公倍数：小学生向けなど）

約数と倍数は、小学校の算数で学ぶ整数の大切な考え方です。

どちらも割り算と関係しますが、見る向きが反対になるため、言葉だけで覚えると混乱しやすいところでしょう。

この記事では、約数と倍数の意味、見分け方、大小関係、公約数と公倍数までを、具体例を使いながらわかりやすく説明します。

問題を解くときに迷わないよう、割る数と割られる数の関係も丁寧に確認していきましょう。

約数と倍数の違い

それではまず、約数と倍数の違いについて解説していきます。

約数の意味

約数とは、ある整数を余りなく割り切れる整数のことです。

たとえば12を考えると、1、2、3、4、6、12で割ると余りが出ません。

そのため、12の約数は1、2、3、4、6、12です。

ここで大切なのは、約数は「12を割る数」である点です。

12÷3＝4と計算できるので、3は12の約数になります。

一方で、12÷5は余りが出るため、5は12の約数ではありません。

約数を探すときは、対象となる数を小さい整数から順番に割ってみる方法が基本です。

ただし、約数は必ず1とその数自身を含みます。

7のように、1と7以外に約数がない数は素数と呼ばれます。

倍数の意味

倍数とは、ある整数に1、2、3のような整数を掛けてできる数です。

たとえば3の倍数は、3、6、9、12、15、18と続きます。

12は3×4で作れるので、12は3の倍数です。

このとき、3は12の約数であり、12は3の倍数でもあります。

つまり、同じ割り算の関係を約数側から見るか、倍数側から見るかによって言い方が変わります。

倍数には、掛ける整数を増やしていける特徴があります。

そのため、3の倍数は3、6、9で終わらず、どこまでも続いていきます。

九九で覚えた計算も、倍数の規則を理解するための土台になります。

同じ関係を表す二つの言葉

約数と倍数は別々の言葉ですが、実際には強く結び付いています。

たとえば20÷5＝4であれば、5は20の約数です。

同時に20＝5×4なので、20は5の倍数になります。

見分けるコツは、どちらの数を中心に考えているかを確かめることです。

考え方	5と20の関係	注目する数
約数として考える	5は20を割り切れる	20
倍数として考える	20は5を何倍かした数	5
式で確かめる	20÷5＝4	割り算
式で確かめる	5×4＝20	掛け算

割る数と割られる数の関係

続いては、割る数と割られる数の関係を確認していきます。

割られる数が中心になる約数

約数を考えるときは、割られる数が中心です。

18の約数を求めるなら、18をどの整数で割り切れるかを調べます。

18÷1、18÷2、18÷3、18÷6、18÷9、18÷18はいずれも余りが出ません。

よって、18の約数は1、2、3、6、9、18です。

この場合、1、2、3、6、9、18はすべて「18を割る数」として扱います。

約数の問題では、大きい数を割られる数として置くと考えると整理しやすいでしょう。

掛けられる数が中心になる倍数

倍数を考えるときは、掛けられる数が中心になります。

4の倍数を求めるなら、4に1、2、3、4と順に掛けていきます。

4、8、12、16、20、24が4の倍数です。

4×5＝20なので、20は4の倍数になります。

倍数の問題では、基準になる数を先に見つけ、その数を何倍したものかを考える流れが役立ちます。

「20は何の倍数か」と問われた場合は、20を割り切れる数を探す方法でも答えを出せます。

割り算で判断する手順

二つの数の関係に迷ったときは、大きい数を小さい数で割ってみましょう。

余りが出なければ、小さい数は大きい数の約数です。

同時に、大きい数は小さい数の倍数になります。

たとえば35と7なら、35÷7＝5です。

したがって7は35の約数であり、35は7の倍数です。

一方、35と6では35÷6は余りが出ます。

6は35の約数ではなく、35も6の倍数ではありません。

余りの有無を確かめるだけで、多くの問題を正確に判断できます。

大小関係と有限無限の特徴

続いては、約数と倍数に見られる大小関係と数の続き方を確認していきます。

約数の大きさ

正の整数の約数は、対象となる数より大きくなりません。

たとえば24の約数に25や30が入ることはありません。

24を25で割ると、割り切れないからです。

正の約数は1からその数自身までの範囲にあります。

そのため、約数を探す作業には終わりがあります。

24なら1から24までを確認すればよく、約数の個数は有限です。

倍数の大きさ

正の整数の倍数は、基準となる数以上になります。

5の倍数なら、5、10、15、20と大きくなっていきます。

5より小さい正の数は、5に正の整数を掛けて作れません。

また、掛ける数をいくらでも大きくできるため、倍数には終わりがありません。

つまり、倍数は無限にあるという特徴を持ちます。

100の次にも105、110、115と、5の倍数は続いていきます。

ゼロを含める場合

ゼロを倍数に含めるかどうかは、学習する場面によって説明が異なることがあります。

0はどの整数に0を掛けても作れるため、数学的には多くの場合でどの数の倍数とも考えられます。

たとえば6×0＝0なので、0は6の倍数です。

ただし小学校の問題では、正の倍数だけを並べることも少なくありません。

問題文に「自然数」や「正の整数」といった条件があるかを確認すると安心です。

約数についても、通常の小学校算数では正の約数を扱います。

比べる項目	約数	倍数
基準となる見方	ある数を割り切る数	ある数を何倍かした数
大きさ	対象の数以下	基準の数以上
数の個数	有限	無限
求め方	割り算で余りを確認	掛け算を続ける

約数と倍数の見分け方

続いては、問題の中で約数と倍数を見分ける方法を確認していきます。

問題文の言葉

「24の約数を求めなさい」とあれば、24を余りなく割れる数を探します。

「6の倍数を小さい順に書きなさい」とあれば、6に整数を掛けて作れる数を並べます。

約数は「何で割れるか」、倍数は「何を掛けて作れるか」と置き換えると理解しやすいでしょう。

「12は3の何ですか」という問題では、12＝3×4と考えます。

答えは3の倍数です。

反対に「3は12の何ですか」なら、3は12を割り切れるので12の約数になります。

掛け算の組み合わせ

約数を求めるときは、掛け算の組み合わせを使うと効率的です。

36なら1×36、2×18、3×12、4×9、6×6という組み合わせがあります。

出てきた数をすべて集めると、36の約数を漏れなく書けます。

この方法では、同じ組み合わせの左右にある二つの数が、どちらも約数です。

九九を使えるようになると、二桁の数でも約数を探しやすくなります。

倍数では、逆に一つの数に1、2、3を掛けていきます。

36は9の4倍なので、9の倍数でもあります。

余りを使った確認

大きな数では、掛け算の組み合わせをすぐに思い出せないこともあります。

その場合は割り算を行い、余りが0かどうかを確認します。

48÷8＝6なので、8は48の約数です。

48は8の倍数でもあります。

48÷7は余りが出るため、7は48の約数ではありません。

計算の答えが小数になった場合も、整数で割り切れていないことがわかります。

余りが0なら約数と倍数の関係が成立すると覚えておくと便利です。

公約数と公倍数の考え方

続いては、複数の数に共通する約数と倍数を確認していきます。

公約数の意味

公約数とは、二つ以上の数に共通する約数です。

12の約数は1、2、3、4、6、12です。

18の約数は1、2、3、6、9、18です。

両方に入っている1、2、3、6が、12と18の公約数になります。

この中で最も大きい6は最大公約数と呼ばれます。

分数を約分するときには、最大公約数を使う場面が多いでしょう。

数	約数
12	1、2、3、4、6、12
18	1、2、3、6、9、18
共通する数	1、2、3、6
最大公約数	6

たとえば12分の18を約分するなら、分子と分母を6で割ります。

18÷6＝3、12÷6＝2となり、2分の3になります。

公倍数の意味

公倍数とは、二つ以上の数に共通する倍数です。

4の倍数は4、8、12、16、20、24、28、32、36と続きます。

6の倍数は6、12、18、24、30、36と続きます。

両方に出てくる12、24、36などが4と6の公倍数です。

このうち最も小さい12は最小公倍数と呼ばれます。

分母が異なる分数を通分するときや、周期が重なる時刻を求めるときに活用できます。

素因数分解を使う方法

数が大きくなると、約数や倍数をすべて書き出す方法は時間がかかります。

そこで役立つのが素因数分解です。

12は2×2×3、18は2×3×3に分けられます。

共通している2と3を掛けると6になり、これが最大公約数です。

最小公倍数では、必要な素因数を不足なくそろえます。

12と18の場合は2×2×3×3となり、36が最小公倍数です。

小学生の段階では表を書き出す方法でも十分ですが、中学以降では素因数分解が大きな助けになります。

小学生向けの学習ポイント

続いては、小学生が約数と倍数を身に付けるための学習ポイントを確認していきます。

九九とのつながり

約数と倍数は、九九を使うとぐっと身近になります。

たとえば7の段には7、14、21、28、35、42と並びます。

これらはすべて7の倍数です。

35は7×5で作れるので、7の倍数であると同時に、7は35の約数です。

九九を単なる暗記で終わらせず、倍数の並びとして眺めると理解が深まります。

九九の一つの段に出てくる数は、その段の数の倍数と考えてみましょう。

図や表で整理する方法

数字だけを見ると混乱する場合は、表に書いて共通する数へ丸を付ける方法がおすすめです。

たとえば2の倍数と3の倍数を並べると、6、12、18などが共通していると気付きます。

この共通する数が公倍数です。

約数でも、二つの数の約数を別々に書き、同じ数を探せば公約数を見つけられます。

手を動かして整理すると、言葉の意味だけでは見えにくい関係がつかみやすくなります。

答えを急がず、まずは数の並びを観察することが大切です。

よくある間違い

よくある間違いは、約数と倍数の言い方を逆にすることです。

「4は20の倍数」と答えてしまう例がありますが、4は20を割り切れるため20の約数です。

20は4の倍数になります。

また、約数を小さい順に書くときに、その数自身を忘れることもあります。

15の約数は1、3、5だけではなく、15も含めて1、3、5、15です。

倍数を三つ書く問題では、基準の数そのものを最初に書きます。

8の倍数なら8、16、24のように並べるのが基本です。

約数と倍数のまとめ

約数は、ある数を余りなく割り切れる数です。

倍数は、ある数に整数を掛けてできる数になります。

たとえば5と20の関係では、5は20の約数であり、20は5の倍数です。

約数は対象の数以下に限られるため有限で、倍数は無限に続きます。

公約数は複数の数に共通する約数であり、公倍数は複数の数に共通する倍数です。

最大公約数は約分に、最小公倍数は通分に役立ちます。

大きい数を小さい数で割り、余りが出るかを確かめることが、最も確実な見分け方です。

九九や掛け算の組み合わせも活用しながら、約数と倍数の関係を少しずつ身に付けていきましょう。