40の約数は？個数と求め方も解説！（1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40：約数の個数8個：素因数分解から求める：倍数との違いなど）

40の約数は？個数と求め方も解説！（1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40：約数の個数8個：素因数分解から求める：倍数との違いなど）

40の約数を求める問題では、答えを暗記するだけでなく、なぜその数が約数になるのかを理解することが大切です。

小学校や中学校の算数、数学では、約数と倍数の違い、素因数分解、約数の個数などがつながって出題されます。

この記事では40を例に、約数の一覧、個数の数え方、素因数分解を使う手順まで、順序立てて確認していきます。

40の約数一覧

それではまず40の約数について解説していきます。

40を割り切れる自然数

約数とは、ある数を割ったときに余りが出ない自然数のことです。

40を1、2、3のように順番に割っていくと、割り切れる数と割り切れない数に分けられます。

たとえば40÷2は20で余りが出ないため、2は40の約数です。

一方で40÷3は13余り1となるため、3は40の約数に含まれません。

40の約数は、1、2、4、5、8、10、20、40の8個です。

どの数も40をぴったり割り切れます。

掛け算の組み合わせ

約数は、掛け算の組み合わせとして見ると整理しやすくなります。

40になる二つの自然数の積を探すと、1×40、2×20、4×10、5×8が見つかります。

この組み合わせに現れる数を集めると、40の約数を漏れなく書き出せるでしょう。

同じ組を左右から見れば、40×1、20×2のようにも表せますが、約数は重複させません。

平方数ではない40の場合、中央で同じ数同士を掛ける組はありません。

そのため、約数は組ごとに2個ずつ増え、全部で4組、8個となります。

掛け算	左側の約数	右側の約数
1×40	1	40
2×20	2	20
4×10	4	10
5×8	5	8

小さい順に並べる理由

約数は通常、小さい数から大きい数へ順に並べます。

40の場合は1、2、4、5、8、10、20、40という並びです。

この順番にすると、約数の見落としや重複を防ぎやすくなります。

また、最小の約数は必ず1で、最大の約数は元の数そのものです。

40なら最小は1、最大は40となります。

1とその数自身は、どの自然数にも共通する約数です。

問題で約数を答える際は、1や40を書き忘れないように注意しましょう。

約数の個数の求め方

続いては40の約数の個数を確認していきます。

一覧から数える方法

最も基本的な方法は、書き出した約数を一つずつ数えるやり方です。

40の約数は1、2、4、5、8、10、20、40なので、数えると8個あります。

小さな数であれば、この方法でも十分に正確に求められます。

ただし、数が大きくなると約数をすべて探す作業には時間がかかります。

そのようなときに便利なのが、素因数分解を使った個数の求め方です。

一覧で答えを確認し、計算式でも検算する習慣を付けると理解が深まります。

対になる約数の数え方

40の約数は、掛け算の組で考えると4組あります。

1と40、2と20、4と10、5と8がそれぞれ対になります。

一組につき二つの約数があるため、4組×2個で8個です。

この考え方は、平方数ではない数を数えるときに特に便利です。

たとえば36のような平方数では、6×6という組が一つだけ同じ数になります。

その場合は中央の6を二度数えないことがポイントでしょう。

40は平方数ではないため、すべての組が異なる二つの数で構成されます。

約数の個数と約数の和

約数の個数と、約数を足した合計は混同しやすい項目です。

40の約数の個数は8個ですが、約数の和は1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＋40で90です。

問題文に個数と書かれている場合は、足し算をせず、何個あるかだけを答えます。

反対に約数の和を求める問題では、一覧にあるすべての数を加えます。

何を求める問題なのかを最初に確認することが、計算ミスを防ぐ近道です。

素因数分解による計算

続いては素因数分解から40の約数を求める方法を確認していきます。

40の素因数分解

素因数とは、素数である因数のことです。

40を素数だけの掛け算に分けると、40＝2×2×2×5となります。

指数を使えば、40＝2の3乗×5と表せます。

この形が40の素因数分解です。

2は2でしか割り切れない素数であり、5も同じく素数です。

4や10は40の因数ですが、素数ではないため素因数にはなりません。

指数に一を足す考え方

素因数分解が2の3乗×5の1乗の形になったら、各指数に1を足します。

2の指数3には1を足して4、5の指数1には1を足して2となります。

最後に4と2を掛けると8です。

したがって、40の約数の個数は8個だと分かります。

この計算は、2の指数を0、1、2、3のどれにするかという4通りと、5の指数を0、1のどちらにするかという2通りを数えています。

4通り×2通りなので、作れる約数は8通りです。

公式を使う際の注意点

約数の個数の公式は便利ですが、素因数分解を正しく行うことが前提です。

40を2の2乗×10のように表しても、10は素数ではないため公式には使えません。

必ず最後まで素数の掛け算に分解しましょう。

また、指数が書かれていない素因数は、指数が1だと考えます。

40の式では5の右上に1が省略されています。

ここを見落とすと、4だけを答えてしまうことがあります。

すべての素因数の指数を確認してから計算することが重要です。

約数と倍数の違い

続いては約数と倍数の違いを確認していきます。

約数から見る40

約数は、ある数を割り切る側の数です。

1、2、4、5、8、10、20、40は、40を余りなく割り切れるため40の約数です。

たとえば8は40の約数であり、40÷8＝5と計算できます。

ここでは40が割られる数、8が割る数という関係になります。

約数を問う問題では、基本となる数より小さい数だけでなく、その数自身も候補に入ります。

40の約数に40が含まれる理由も、この割り算を考えれば自然に理解できるでしょう。

倍数から見る40

倍数は、ある数に整数を掛けてできる数です。

40、80、120、160は、40に1、2、3、4を掛けてできるため40の倍数です。

40の倍数はこの先も無限に続きます。

一方で40の約数は、1から40までの範囲に限られるため、8個しかありません。

約数は有限、倍数は無限という違いを押さえておくと、問題文の判断がしやすくなります。

40は2の倍数でもあり、5の倍数でもあり、10の倍数でもあります。

言葉	40を基準にした例	考え方
40の約数	1、2、4、5、8、10、20、40	40を割り切れる数
40の倍数	40、80、120、160	40に整数を掛けた数
2の倍数	2、4、6、8、10	2で割り切れる数
10の倍数	10、20、30、40、50	一の位が0の数

因数と倍数の関係

40＝5×8という式では、5と8を40の因数と呼びます。

学校の学習では、自然数の範囲で因数と約数をほぼ同じ意味で扱うことが多いでしょう。

5は40の約数であり、40は5の倍数です。

このように、一つの掛け算や割り算を別の向きから見ると、約数と倍数の関係が分かります。

40÷5＝8と書けるので、5は40の約数です。

40＝5×8と書けるので、40は5の倍数でもあります。

言葉の向きを意識すると、選択問題でも迷いにくくなります。

40の約数を使う問題

続いては40の約数を使う場面を確認していきます。

等しく分ける場面

40個のお菓子を余りなく同じ数ずつ分ける場合、分ける人数は40の約数になります。

たとえば5人で分けるなら、一人当たり8個です。

8人で分けるなら、一人当たり5個ずつになります。

3人で分けようとすると、40÷3では余りが出るため、同じ数には分けられません。

このような問題では、人数や一人分の個数が40の約数であるかを考えます。

余りなく分ける条件は約数を探す合図と覚えると便利です。

長方形の並べ方

40個の正方形を隙間なく長方形に並べる問題でも、約数が役立ちます。

縦を1個にすると横は40個、縦を2個にすると横は20個です。

縦を4個にすると横は10個、縦を5個にすると横は8個になります。

つまり、1×40、2×20、4×10、5×8の四つの長方形が作れます。

縦横を入れ替えた40×1などを別の形として数えるかは、問題の条件を確認しましょう。

約数の組は、面積から辺の長さを求める考え方にもつながります。

最大公約数とのつながり

約数の考え方は、最大公約数を求める問題にも使われます。

たとえば40と60の共通する約数は、1、2、4、5、10、20です。

この中で最も大きい20が、40と60の最大公約数です。

二つの数を同じ大きさで最大限に分けたい問題では、最大公約数を求めます。

40の約数を正確に書けるようになると、共通する数を探す作業も速くなります。

約数の一覧は、最大公約数や最小公倍数の土台になります。

40の約数のまとめ

40の約数は、1、2、4、5、8、10、20、40の8個です。

40を割り切れる数を小さい順に並べることで、約数の一覧を作れます。

掛け算では1×40、2×20、4×10、5×8の4組となり、各組に二つの約数があることも確認できます。

素因数分解では40＝2の3乗×5の1乗です。

指数に1を足して掛けると、3＋1と1＋1で4×2＝8となります。

40の約数の個数は8個という結論は、一覧、掛け算、素因数分解のどの方法でも求められます。

約数は割り切れる数、倍数は掛け算でできる数という違いも重要です。

等分、長方形の並べ方、最大公約数の問題でも40の約数を活用し、数字の関係を確実に捉えていきましょう。