約数の総和は、自然数の約数をすべて足し合わせた値のことです。
一見すると約数を一つずつ探して足すしかないように思えますが、素因数分解と等比数列の和の公式を使えば、大きめの数でも効率よく求められます。
この記事では、約数の総和の意味、公式の使い方、公式が成り立つ理由、例題での計算手順、よくある間違いまでを順に整理します。
計算問題だけでなく、公式を暗記する前に仕組みを理解したい人にも役立つ内容です。
約数の総和の基本と結論
それではまず、約数の総和の意味と求め方の結論について解説していきます。
約数の総和の意味
約数とは、ある整数を割り切れる正の整数のことです。
たとえば12の約数は、1、2、3、4、6、12です。
これらをすべて加えると、1＋2＋3＋4＋6＋12＝28となります。
この28が、12の約数の総和です。
約数の個数を問う問題と似ていますが、こちらは個数ではなく、約数そのものを加えた合計を求めます。
約数の個数と約数の総和は別の値なので、公式を使い分けることが大切です。
約数の総和を求める基本手順は、数を素因数分解し、各素因数について等比数列の和を作り、それぞれを掛け合わせる流れです。
たとえば、18＝2×32と素因数分解できます。
このとき約数の総和は、2に関する和と3に関する和を使って求められます。
約数を直接列挙しなくても計算できる点が、公式の大きな利点でしょう。
公式で求める結論
自然数nを素因数分解して、n＝paqbrcのように表せるとします。
ここでp、q、rは異なる素数であり、a、b、cはそれぞれの指数です。
このとき約数の総和は、次のように計算できます。
約数の総和＝（1＋p＋p2＋…＋pa）×（1＋q＋q2＋…＋qb）×（1＋r＋r2＋…＋rc）
素因数が二種類なら二つのかっこを掛け、四種類なら四つのかっこを掛けます。
つまり、素因数分解に現れる素数ごとに、0乗から指数乗までを足し合わせればよいわけです。
この考え方を身につけると、約数の総和に関する多くの問題に対応しやすくなります。
小さい数での確認
公式に入る前に、小さな数で約数と総和の関係を確認しておきましょう。
次の表では、各数の素因数分解、約数、約数の総和をまとめています。
| 数 | 素因数分解 | 約数 | 約数の総和 |
|---|---|---|---|
| 6 | 2×3 | 1、2、3、6 | 12 |
| 8 | 23 | 1、2、4、8 | 15 |
| 10 | 2×5 | 1、2、5、10 | 18 |
| 12 | 22×3 | 1、2、3、4、6、12 | 28 |
| 18 | 2×32 | 1、2、3、6、9、18 | 39 |
たとえば8は23なので、約数は2の0乗、1乗、2乗、3乗に対応します。
1＋2＋4＋8＝15となり、公式の形がそのまま見えてきます。
素因数が一種類だけの数は、約数の総和の仕組みを理解する出発点として適しています。
素因数分解を使う計算手順
続いては、素因数分解から約数の総和を求める計算手順を確認していきます。
最初に素因数分解する理由
約数の総和の公式では、対象となる数をまず素因数分解します。
素因数分解とは、ある自然数を素数の掛け算で表すことです。
たとえば72は、72＝23×32と表せます。
72の約数をすべて並べることもできますが、数が大きくなると見落としや重複が起こりやすくなります。
一方で素因数分解をすれば、約数がどのような組み合わせで作られるかを整理できます。
約数は素因数の指数を選ぶ組み合わせとして考えると、公式の意味が分かりやすくなります。
72＝23×32の場合、2の指数は0、1、2、3から選べます。
3の指数は0、1、2から選択可能です。
したがって、72の約数は2x×3yという形で作れます。
ただしxは0から3、yは0から2の範囲です。
各素因数の和を作る方法
72＝23×32では、2について1＋2＋4＋8を作ります。
3については1＋3＋9を作ればよいことになります。
次に、それぞれの和を掛け合わせます。
72の約数の総和＝（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）
＝15×13
＝195
この195には、72のすべての正の約数を一回ずつ足した結果が含まれています。
途中で約数を一つずつ書き出していないのに答えが出るのは、掛け算の展開がすべての指数の組み合わせを作るためです。
この点が公式の中心となる考え方です。
指数がない素因数の扱い
素因数分解では、指数が1のときに指数を省略して書く場合があります。
たとえば30＝2×3×5ですが、正確には21×31×51です。
指数が1なら、それぞれの素因数について作る和は1＋素数となります。
30の約数の総和＝（1＋2）×（1＋3）×（1＋5）
＝3×4×6
＝72
実際に30の約数は、1、2、3、5、6、10、15、30です。
これらを足しても72になります。
指数が1の素因数を見落とすと、かっこが一つ足りなくなるため注意が必要です。
特に複数の素数が登場する数では、すべての素因数に対応するかっこを書くことを確認しましょう。
等比数列の和による公式
続いては、約数の総和で使う等比数列の和の公式を確認していきます。
等比数列の和の形
1＋p＋p2＋…＋paは、初項が1、公比がpの等比数列です。
等比数列の和の公式を使うと、この部分を短く表せます。
pが1ではないとき、次の式が使えます。
1＋p＋p2＋…＋pa＝（pa＋1－1）÷（p－1）
そのため、n＝paqbのときの約数の総和は、分数の形でも表せます。
ただし、計算途中ではかっこの和の形で進めたほうが、ミスを見つけやすい場合もあります。
指数が小さい問題では、無理に分数形式へ変形しなくても構いません。
一つの素因数だけの場合
n＝paという形の数は、約数の総和の公式を最もシンプルに使えます。
たとえば64＝26です。
約数は1、2、4、8、16、32、64となります。
64の約数の総和＝1＋2＋22＋23＋24＋25＋26
＝（27－1）÷（2－1）
＝127
直接加えても127になります。
このように、素因数が一種類なら、等比数列の和だけで約数の総和を求められます。
指数に1を足してから累乗することが、公式で特に重要なポイントです。
26に対して26－1としないように気をつけましょう。
複数の素因数がある場合
複数の素因数がある場合は、各素因数について等比数列の和を作り、その結果を掛け合わせます。
たとえば360＝23×32×5です。
このとき、2、3、5それぞれについて和を求めます。
360の約数の総和＝（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）
＝15×13×6
＝1170
等比数列の和の分数形式を使うなら、15は（24－1）÷（2－1）です。
13は（33－1）÷（3－1）であり、6は（52－1）÷（5－1）となります。
どちらの形で計算しても答えは同じです。
計算に慣れるまでは、1＋素数＋素数の2乗という形を残しておくと、指数の範囲を確認しやすいでしょう。
公式が成り立つ理由と証明
続いては、約数の総和の公式がなぜ成り立つのかを確認していきます。
約数を指数の組み合わせで考える方法
n＝paqbと素因数分解できる数を考えます。
この数の約数は、pの指数を0からaまで選び、qの指数を0からbまで選んで作れます。
つまり、すべての約数はpiqjの形です。
ここでiは0からa、jは0からbの整数となります。
pの指数を0にすると1、1にするとp、2にするとp2です。
qについても同じように、1、q、q2と選べます。
約数は、この二つの選択を掛け合わせた結果として現れます。
たとえばp2qは、pの指数を2、qの指数を1に選んだ約数です。
掛け算の展開との対応
次の積を展開してみましょう。
（1＋p＋p2＋…＋pa）×（1＋q＋q2＋…＋qb）
この積を展開すると、最初のかっこからpの0乗からa乗までを一つ選びます。
次のかっこからqの0乗からb乗までを一つ選ぶことになります。
その積はpiqjとなり、nの約数を一つ表します。
すべての選び方を行うため、展開後には約数が漏れなく一度ずつ現れます。
積を展開した各項が約数に対応するため、展開結果全体が約数の総和になるわけです。
たとえば12＝22×3の場合を考えます。
（1＋2＋4）×（1＋3）を展開すると、1、3、2、6、4、12となります。
順番を整えると、12の約数である1、2、3、4、6、12がすべて現れます。
素因数が三種類以上の場合
素因数が三種類以上の場合も、考え方は変わりません。
n＝paqbrcなら、三つの和を掛け合わせます。
展開では、p、q、rそれぞれの指数を一つずつ選ぶことになります。
選ばれた指数の組み合わせは、nの約数を一つだけ表します。
たとえば30＝2×3×5なら、（1＋2）×（1＋3）×（1＋5）です。
展開すると1、2、3、5、6、10、15、30の八つが現れます。
これは30の約数と完全に一致します。
公式は単なる暗記用の形ではなく、素因数の指数選択をまとめた式として理解できます。
理由を押さえておけば、素因数の数が増えても迷いにくくなるでしょう。
約数の総和の例題と解き方
続いては、具体的な例題を使って約数の総和の解き方を確認していきます。
例題一 84の約数の総和
84を素因数分解すると、84＝22×3×7です。
2の指数は2、3と7の指数は1です。
したがって、それぞれの和を作ります。
84の約数の総和＝（1＋2＋4）×（1＋3）×（1＋7）
＝7×4×8
＝224
この問題では、22に対応して1、2、4を使う点が重要です。
3と7は指数が1なので、1＋3、1＋7となります。
84の約数を実際に列挙しても、合計は224になります。
答えだけでなく、素因数分解から各かっこを作る過程まで書くと、途中点を得やすいでしょう。
例題二 252の約数の総和
252は、252＝22×32×7と素因数分解できます。
指数が2の素因数が二つあるため、かっこの中身を混同しないように進めます。
252の約数の総和＝（1＋2＋4）×（1＋3＋9）×（1＋7）
＝7×13×8
＝728
このように、同じ指数であっても素数が違えば和の値も変わります。
22には1＋2＋4、32には1＋3＋9を対応させます。
指数だけを見るのではなく、底の素数まで確認することが計算ミスの防止につながります。
特に試験中は、素因数分解の式を最初に大きく書くと整理しやすくなります。
例題三 1000の約数の総和
1000は、1000＝23×53です。
二つの素因数の指数がどちらも3なので、同じ構造の和を二つ作ります。
1000の約数の総和＝（1＋2＋4＋8）×（1＋5＋25＋125）
＝15×156
＝2340
等比数列の和を使うなら、1＋5＋25＋125は（54－1）÷4と計算しても構いません。
ただし、15×156の計算で桁を誤らないよう注意が必要です。
大きな数の約数を列挙するのは手間がかかりますが、公式なら素因数分解ができれば比較的短時間で求められます。
1000のように10の累乗を含む数では、2と5の指数に注目すると素因数分解が進めやすいでしょう。
計算ミスを防ぐ確認ポイント
続いては、約数の総和を計算するときの確認ポイントを確認していきます。
指数の終わりを一つ先まで取る注意
約数の総和では、paに対して1からpaまでを足します。
等比数列の和の公式に直すと、分子はpa＋1－1となります。
ここで指数をaのままにすると、一番大きい項が抜けてしまいます。
たとえば23なら、1＋2＋4＋8です。
和の公式では24－1を使います。
元の指数に一を足すという確認を、計算のたびに行うと安心です。
| 素因数の形 | 作る和 | 等比数列の和の形 |
|---|---|---|
| 21 | 1＋2 | （22－1）÷（2－1） |
| 22 | 1＋2＋4 | （23－1）÷（2－1） |
| 32 | 1＋3＋9 | （33－1）÷（3－1） |
| 53 | 1＋5＋25＋125 | （54－1）÷（5－1） |
約数の個数の公式との混同
約数の個数は、n＝paqbなら（a＋1）（b＋1）で求められます。
一方、約数の総和は（1＋p＋…＋pa）と（1＋q＋…＋qb）を掛けます。
両者とも素因数分解と指数を使うため、混同しやすいところです。
約数の個数では指数に1を足した数だけを扱います。
約数の総和では、素数そのものの累乗和を扱います。
約数の個数は指数の選び方の数です。
約数の総和は実際にできる約数の値の合計です。
たとえば12＝22×3の場合、約数の個数は（2＋1）（1＋1）＝6です。
約数の総和は（1＋2＋4）（1＋3）＝28となります。
何を求める問題なのかを最初に確認すれば、公式の取り違えを減らせます。
途中計算と答えの見直し
約数の総和は正の整数になるため、分数が残ったままになることはありません。
等比数列の和を分数形式で計算した場合、最終的には必ず整数になります。
割り切れないときは、指数や引き算、分母を見直す必要があります。
また、約数の総和には必ず1と元の数自身が含まれます。
そのため答えは、少なくともn＋1より大きくなります。
たとえば100の約数の総和が90になった場合、100自身も含まれていないため明らかに不自然です。
答えが元の数より大きいかという簡単な確認も、見直しに役立ちます。
素因数分解を掛け戻して元の数になるか確かめることも、確実な方法です。
まとめ
約数の総和は、その数を割り切れる正の整数をすべて足した値です。
求める際は、まず対象の数を素因数分解します。
n＝paqb…と表せたら、各素因数について1＋p＋p2＋…＋paという和を作り、すべて掛け合わせます。
約数の総和＝素因数ごとの累乗和の積と覚えると、基本の形を思い出しやすくなります。
各かっこの和は等比数列の和であり、（pa＋1－1）÷（p－1）とも表せます。
公式が成り立つのは、積を展開した各項が、素因数の指数の組み合わせで作られる約数に対応するためです。
指数に一を足すこと、すべての素因数についてかっこを作ること、約数の個数の公式と混同しないことを意識しましょう。
素因数分解から丁寧に進めれば、複雑に見える約数の総和も落ち着いて計算できます。
