約数の個数の求め方は？公式と計算方法も解説！（素因数分解を使う：(指数+1)の積：公式の証明：小学生・中学生：例題など）

約数の個数は、素因数分解と指数の見方を押さえると、筆算をたくさんしなくても求められます。

算数や数学の問題ではもちろん、整数の性質を考える場面でも役立つため、公式だけでなく理由まで理解しておくことが大切です。

この記事では、小学生にもわかりやすい考え方から中学生向けの公式の証明、具体的な例題まで順番に解説します。

約数の個数の結論と基本手順

それではまず、約数の個数を求める結論と基本の流れについて解説していきます。

素因数分解後に指数へ一を足して掛ける方法

約数の個数を求めるときは、対象の数を素因数分解し、それぞれの指数に一を足して掛け合わせます。

たとえば、72を素因数分解すると、72＝2の3乗×3の2乗になります。

この場合は、2の指数である3に一を足し、3の指数である2にも一を足します。

つまり、72の約数は全部で12個です。

素因数の種類ごとに、指数へ一を足して積を作ることが、約数の個数の公式の中心になります。

約数と倍数の違い

約数とは、ある整数を余りなく割り切れる整数のことです。

たとえば12は、1、2、3、4、6、12で割り切れるため、これらはすべて12の約数になります。

一方の倍数は、ある数に整数を掛けて作れる数を指します。

12は3の倍数ですが、3は12の約数です。

約数と倍数は関係が深いものの、見る向きが反対だと考えると整理しやすいでしょう。

約数の個数を問う問題では、最初にその数を分解する作業が重要になります。

計算時に確認したい基本手順

計算の流れは、素因数分解、指数の確認、指数に一を足す、すべて掛けるという四段階です。

途中で因数を書き落とすと答えが変わるため、分解結果は落ち着いて見直してください。

手順	行うこと	72の場合
一	素因数分解する	2の3乗×3の2乗
二	各指数に一を足す	4と3
三	得られた数を掛ける	4×3
四	約数の個数にする	12個

素因数が一種類しかない場合も、同じルールで計算できます。

たとえば32＝2の5乗なら、約数の個数は5＋1で6個です。

素因数分解と指数の読み取り

続いては、公式を使う前に必要な素因数分解と指数の読み取りを確認していきます。

素数だけの掛け算へ直す考え方

素因数分解とは、整数を素数だけの掛け算で表すことです。

素数は、1とその数自身以外では割り切れない二以上の整数をいいます。

2、3、5、7、11などが代表的な素数です。

たとえば60は、60＝2×2×3×5と分解できます。

同じ数をまとめると、60＝2の2乗×3×5になります。

このように書き直すことで、約数を作るために選べる指数の数が見えやすくなります。

指数が表している選択肢

60に含まれる2の指数は2です。

約数を作るとき、2は使わない、2を一個使う、2を二個使うという三通りから選べます。

これは指数が0、1、2の三通りになるという意味です。

指数が2なら選択肢は三通りであり、2＋1となります。

3と5はどちらも指数が1なので、使わないか一個使うかの二通りです。

指数に一を足す理由は、素因数を使わない状態である0乗も含めるためです。

一と素数の場合の扱い

一の約数は一だけなので、約数の個数は一個です。

一は素因数分解できない特別な数であり、通常の公式をそのまま書く必要はありません。

素数の約数は、一とその素数自身の二個です。

たとえば17は17の1乗と考えられるため、指数に一を足して1＋1＝2個と求められます。

一と素数の扱いを最初に確認しておくと、基本問題で迷いにくくなります。

一の約数は一個、素数の約数は二個という結果は、頻出の基礎知識です。

公式の証明と組み合わせの考え方

続いては、約数の個数の公式が成り立つ理由を、組み合わせの考え方から確認していきます。

二つの素因数を持つ数の証明

ある整数が、pのa乗×qのb乗と表されるとします。

ここでpとqは異なる素数で、aとbは0以上の整数です。

この数の約数は、pの何乗を使うか、qの何乗を使うかを決めることで作れます。

pの指数は0からaまで選べるため、選び方はa＋1通りです。

qの指数は0からbまで選べるため、選び方はb＋1通りになります。

それぞれの選び方を自由に組み合わせられるので、約数の個数は（a＋1）×（b＋1）個です。

三種類以上の素因数への広がり

素因数が三種類以上あっても、考え方は変わりません。

たとえば、N＝pのa乗×qのb乗×rのc乗なら、pの指数はa＋1通り、qの指数はb＋1通り、rの指数はc＋1通りです。

全体の組み合わせ数は、それぞれの選択肢を掛けた（a＋1）×（b＋1）×（c＋1）になります。

この公式は暗記だけで使うより、指数を0から選ぶ考え方と結び付けると忘れにくいでしょう。

約数は各素因数の指数の選び方を組み合わせたものと理解することが重要です。

同じ約数が重複しない理由

指数の組み合わせを変えると、別の約数になります。

たとえば2の指数を一つ増やせば、その約数には2がさらに一個掛かるため、元の数と同じにはなりません。

また、素因数分解の形は整数ごとに一つに決まります。

これを素因数分解の一意性といいます。

そのため、異なる指数の組み合わせから偶然同じ約数が生まれる心配はありません。

公式で数えた組み合わせの数が、そのまま約数の総数になるわけです。

小学生にもわかる約数の数え方

続いては、小学生でも取り組みやすい約数の数え方と、公式へつながる考え方を確認していきます。

小さい数を実際に割って調べる方法

小さい数なら、順番に割って余りが出ない数を探す方法がわかりやすいでしょう。

たとえば18では、1、2、3、6、9、18が約数です。

約数は一と元の数が組になることが多いため、小さい数と大きい数を対応させて書くと見落としを防げます。

小さい側の約数	対応する約数	積
1	18	18
2	9	18
3	6	18

この表から、18の約数が六個あると確認できます。

ただし数が大きくなると、すべて試す方法は時間がかかります。

九九から見つける約数の組

九九を使えると、約数の組を見つけやすくなります。

24なら、1×24、2×12、3×8、4×6という形に分けられます。

掛け算の組に出てくる数を集めると、1、2、3、4、6、8、12、24が約数です。

平方数では真ん中に同じ数を掛ける組が出る点に注意してください。

たとえば36では6×6がありますが、6を二回数えません。

平方数の平方根は、約数として一回だけ数えることが大切です。

公式へ進むための準備

小学生の段階では、約数を実際に書き出して規則をつかむことが土台になります。

そのうえで、24＝2の3乗×3と分解できると知ると、より速い求め方へ進めます。

書き出して確認した答えと公式の答えが一致する経験は、理解を深める助けになります。

難しい公式として覚えるのではなく、数え方を短くした工夫として捉えるとよいでしょう。

中学生向けの計算方法と注意点

続いては、中学生の問題で役立つ計算方法と、答えを間違えやすい注意点を確認していきます。

大きな数を素因数分解する手順

大きな数を扱う場合は、小さい素数から順に割れるかを調べます。

2で割れなければ3、5、7というように進めると、整理しやすくなります。

たとえば360は、360＝2の3乗×3の2乗×5と素因数分解できます。

素因数分解の途中で合成数を残さず、最後はすべて素数にすることが必要です。

6をそのまま因数に残してしまうと指数を正しく使えません。

指数の足し忘れと掛け忘れ

公式では、指数そのものを掛けるのではありません。

必ず各指数に一を足してから掛けます。

たとえば100＝2の2乗×5の2乗なので、約数の個数は2×2ではなく、3×3で9個です。

また、素因数が一つ増えるたびに、掛ける数も一つ増えます。

指数を見つけたら、先にすべて一を足してから計算する習慣を付けるとミスが減ります。

計算後には、素因数分解の種類数と掛け算の項数が合っているかを確認してください。

約数の和や完全数との関連

約数の個数を学ぶと、約数の和や完全数といった整数の性質にも関心が広がります。

完全数とは、自分自身を除く正の約数の和が元の数と等しい数です。

6は1、2、3を足すと6になるため、最もよく知られた完全数です。

また、素数の約数が二個だけであることは、素数判定の基本にもつながります。

このような性質を知ると、単なる計算問題でも数の構造を考えやすくなります。

例題による公式の使い分け

続いては、具体的な例題を通して、約数の個数の公式を使い分ける方法を確認していきます。

二百十の約数の個数

210を素因数分解すると、210＝2×3×5×7です。

どの素因数も指数は1なので、それぞれに一を足すと2になります。

約数の個数は、2×2×2×2で16個です。

指数がすべて1の数では、素因数の種類が一つ増えるごとに約数の個数が二倍になります。

異なる素数が四種類ある210は、二の四乗で16個と考えても求められます。

このような形は、素因数分解ができれば比較的速く計算できる例です。

四百四十の約数の個数

440は、44×10と考えると分解しやすい数です。

440＝2の3乗×5×11となります。

したがって、約数の個数は（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）です。

4×2×2を計算して、答えは16個になります。

数	素因数分解	約数の個数
84	2の2乗×3×7	3×2×2で12個
144	2の4乗×3の2乗	5×3で15個
440	2の3乗×5×11	4×2×2で16個

表のように、元の数が大きくても指数がわかれば計算は短くなります。

条件から元の数を考える問題

約数の個数が六個になる数を考える問題もあります。

六を作る掛け算は、6、3×2などです。

そのため、素因数分解の指数に一を足した数が6になる形、または3と2になる形を考えます。

前者ならpの5乗、後者ならpの2乗×qの1乗という形です。

たとえば32＝2の5乗は約数が六個であり、12＝2の2乗×3も約数が六個です。

約数の個数から逆に指数の形を考えると、応用問題にも対応しやすくなります。

約数の個数の求め方のまとめ

約数の個数は、まず対象の整数を素因数分解し、各指数に一を足して掛け合わせることで求めます。

たとえばN＝pのa乗×qのb乗なら、約数の個数は（a＋1）×（b＋1）です。

この公式は、各素因数を0個から指定された指数の数まで何個使うか、その選び方を数えた結果になります。

指数に一を足すのは、素因数を使わない0乗の選択も含めるためです。

小さい数では約数を書き出して組を確認し、大きな数では素因数分解と公式を使うと効率よく解けるでしょう。

一の約数は一個、素数の約数は二個、平方数では中央の約数を重複して数えない点も押さえてください。

公式の意味まで理解しておけば、例題の計算だけでなく、約数の個数から整数の形を推測する問題にも活用できます。