約数と公約数の違いは？意味と求め方も！（1つの数vs複数の数：最大公約数：ユークリッドの互除法：小学生・中学生など）

約数と公約数は、どちらも割り算に関係する大切な言葉ですが、対象となる数の個数が異なります。

約数は1つの数を割り切る数、公約数は2つ以上の数を共通して割り切る数を指します。

小学校では整数の性質や分数の約分で登場し、中学校では最大公約数、素因数分解、ユークリッドの互除法などへ学びが広がります。

似ている言葉を混同しないためには、具体例を使って意味と求め方を順番に整理することが近道でしょう。

約数と公約数の違い

それではまず、約数と公約数の違いについて解説していきます。

対象となる数の個数

約数は1つの整数に注目する考え方であり、公約数は2つ以上の整数を比べる考え方です。

たとえば12の約数を調べるときは、12だけを見ます。

一方で12と18の公約数を調べるときは、12と18の両方を割り切れる数を探します。

この違いを最初に押さえると、問題文を読んだときに何を求めるべきか判断しやすくなります。

言葉	注目する数	意味	例
約数	1つの数	その数を余りなく割れる整数	12の約数は1、2、3、4、6、12
公約数	2つ以上の数	すべての数を余りなく割れる共通の整数	12と18の公約数は1、2、3、6
最大公約数	2つ以上の数	公約数のうち最も大きい数	12と18の最大公約数は6

割り切れるという条件

約数と公約数のどちらにも、余りが出ないという条件があります。

たとえば20を4で割ると5になり余りが出ないため、4は20の約数です。

しかし20を6で割ると余りが2になるため、6は20の約数ではありません。

公約数の場合も同じで、すべての数を割ったときに余りが0でなければなりません。

12と18について3を確認すると、12÷3も18÷3も余りが0です。

そのため3は12と18の公約数になります。

約数から公約数へ進む考え方

公約数は、それぞれの数の約数を並べてから、共通する数を選ぶことで見つけられます。

つまり、公約数は約数どうしの共通部分と考えると理解しやすいでしょう。

12の約数は1、2、3、4、6、12です。

18の約数は1、2、3、6、9、18です。

両方にある1、2、3、6が公約数になります。

約数の意味と求め方

続いては、約数の意味と求め方を確認していきます。

約数の基本的な意味

ある整数を余りなく割れる正の整数を、その整数の約数といいます。

たとえば15は1、3、5、15で割り切れます。

したがって15の約数は1、3、5、15です。

1はすべての正の整数の約数であり、その数自身も必ず約数になります。

この2つを見落とすと約数を書き漏らしやすいため、最後に必ず確認しましょう。

かけ算の組で探す方法

約数を効率よく探すには、かけ算の組を利用する方法が便利です。

24の場合、1×24、2×12、3×8、4×6という組が見つかります。

それぞれの組に出てくる数を集めれば、24の約数を漏れなく書けます。

平方数では、同じ数どうしをかける組がある点にも注意が必要です。

36では6×6という組がありますが、6を2回書く必要はありません。

約数は同じ数を重ねず、1回だけ書くことが基本です。

小さい数から割って調べる方法

かけ算の組が思い浮かばないときは、小さい数から順に割り算をして確かめてもよいでしょう。

たとえば28なら、1、2、3、4、5と順に試します。

28は1、2、4で割り切れ、3と5では割り切れません。

対応する商も約数になるので、1に対して28、2に対して14、4に対して7を加えます。

割る数と商は対になって約数になるという性質を使うと、計算量を減らせます。

調べる数	28を割った結果	判定	対応する約数
1	28÷1＝28	割り切れる	1と28
2	28÷2＝14	割り切れる	2と14
3	28÷3＝9余り1	割り切れない	なし
4	28÷4＝7	割り切れる	4と7

公約数と最大公約数の求め方

続いては、公約数と最大公約数の求め方を確認していきます。

約数を書き出して共通する数を選ぶ方法

小学生の計算では、それぞれの約数を書き出して共通する数を探す方法が基本になります。

16と24を例に見てみましょう。

16の約数は1、2、4、8、16です。

24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24です。

共通している1、2、4、8が公約数であり、その中で最も大きい8が最大公約数です。

この方法は意味を目で確認しやすく、約数と公約数の関係を学び始めた段階に向いています。

ただし数が大きくなると約数をたくさん書く必要があるため、別の方法も知っておくと便利です。

最大公約数を見つける順序

最大公約数を求めるときは、公約数を小さい順に書いて最後の数を選ぶ方法があります。

または、大きい候補から順に両方を割れるか調べてもかまいません。

ただし、数字が大きいと候補を見落とす可能性があります。

そのため、慣れないうちは約数を整理して書き出す方法が安心でしょう。

最大公約数は最大の約数ではなく、最大の公約数です。

たとえば12と18では、18は大きい数ですが12を割り切れないため最大公約数にはなりません。

分数の約分への活用

最大公約数は、分数を最も簡単な形にする約分で活躍します。

18分の24を約分するとき、18と24の最大公約数は6です。

分子と分母を6で割れば、3分の4になります。

公約数のうち最大の数で同時に割ると、通常は一度で既約分数に近づけます。

素因数分解を使った最大公約数

続いては、素因数分解を使った最大公約数の考え方を確認していきます。

素数と素因数の確認

素数とは、1とその数自身以外では割り切れない2以上の整数です。

2、3、5、7、11などが素数にあたります。

整数を素数のかけ算だけで表すことを素因数分解といいます。

たとえば36は2×2×3×3、つまり2の2乗×3の2乗と表せます。

素因数分解は数の構造を見える形にする方法ともいえるでしょう。

共通する素因数を選ぶ方法

48と72の最大公約数を素因数分解で求めてみます。

48は2×2×2×2×3です。

72は2×2×2×3×3です。

両方に共通する2×2×2×3をかけると24になります。

したがって48と72の最大公約数は24です。

数	素因数分解	共通する素因数
48	2×2×2×2×3	2×2×2×3
72	2×2×2×3×3	2×2×2×3
最大公約数	2×2×2×3	24

共通する素因数が複数ある場合は、共通している回数にも注意します。

2が片方に4個、もう片方に3個あるなら、共通する2は3個までです。

最小公倍数との違い

最大公約数と一緒に学ぶことが多い言葉に、最小公倍数があります。

最大公約数は共通して割れる数のうち最大の数です。

最小公倍数は複数の数に共通する倍数のうち最も小さい数になります。

素因数分解では、最大公約数は共通部分を使い、最小公倍数は必要な素因数をすべてそろえる考え方です。

約数は割る側、公倍数はかけて作る側と意識すると、言葉の混同を防げます。

ユークリッドの互除法の手順

続いては、ユークリッドの互除法の手順を確認していきます。

互除法の基本ルール

ユークリッドの互除法は、大きい数を小さい数で割り、余りを使って割り算を繰り返す方法です。

最後に余りが0になったときの割る数が、最大公約数になります。

約数をすべて書き出さなくてもよいため、大きな整数の最大公約数を求める場面で便利です。

中学校の数学では、この手順の意味を理解して使えるようにすることが求められます。

具体例による計算

252と105の最大公約数を、ユークリッドの互除法で求めてみましょう。

まず252を105で割ると、商は2、余りは42です。

次に105を42で割ると、商は2、余りは21です。

最後に42を21で割ると余りが0になります。

余りが0になったときの割る数は21なので、最大公約数は21です。

余りが0になるまで、割る数と余りを入れ替えることがユークリッドの互除法の中心です。

途中の商ではなく、最後に余り0を作った割る数を見る点に注意してください。

互除法が成り立つ理由

大きい数と小さい数の公約数は、大きい数を小さい数で割った余りの約数とも共通します。

たとえば252は105の2倍と42を足した数です。

252と105の両方を割り切る数なら、252から105の2倍を引いた42も割り切れます。

反対に105と42を割り切る数なら、105の2倍に42を足した252も割り切れます。

この関係が続くため、計算を進めても最大公約数は変わりません。

式の意味まで理解すると、手順を忘れにくくなり、応用問題にも対応しやすくなるでしょう。

学年別のつまずきやすいポイント

続いては、小学生と中学生でつまずきやすいポイントを確認していきます。

小学生での約数の書き漏れ

小学生では、約数を小さい順に一部だけ書いて終えてしまうことがあります。

たとえば30の約数で1、2、3、5だけを書き、対応する30、15、10、6を書き忘れるケースです。

かけ算の組を使えば、両側の数を一緒に見つけられます。

1×30、2×15、3×10、5×6のように書き、出てきた数をすべて集めましょう。

約数を小さい順に並べ直す習慣も、答えの確認に役立ちます。

公約数と共通の倍数の混同

公約数と公倍数は名前が似ているため、混同しやすい単元です。

公約数は複数の数を割り切る数であり、公倍数は複数の数の倍数になっている数です。

12と18の公約数には6がありますが、公倍数には36、72、108などがあります。

問題文に約分、分ける、同じ大きさにするという内容があれば、最大公約数を使う可能性が高いでしょう。

同じ時刻、同じ周期、次にそろうといった内容なら、最小公倍数を考える場面が多くなります。

場面	考えやすい数	例
分数を簡単にする	最大公約数	18分の24を約分する
長さを余りなく分ける	最大公約数	24cmと36cmを同じ長さに切る
周期が再びそろう	最小公倍数	6分ごとと8分ごとの時刻
共通する倍数を探す	最小公倍数	12と18の公倍数

中学生での計算手順の確認

中学生では、素因数分解やユークリッドの互除法で計算の途中を省きすぎて間違えることがあります。

特に素因数分解では、共通する素因数の個数を正確に数えることが重要です。

互除法では、余りと商を取り違えないよう、式を1行ずつ書くとよいでしょう。

答えだけでなく途中式を整えることが、計算ミスの予防につながります。

検算として、求めた最大公約数で両方の数が割り切れるか確認すれば安心です。

約数と公約数のまとめ

約数は1つの数を余りなく割れる数であり、公約数は複数の数を共通して余りなく割れる数です。

まず数が1つなら約数、2つ以上なら公約数を考えるという区別を覚えましょう。

約数はかけ算の組や割り算で求められ、公約数はそれぞれの約数から共通する数を選ぶことで求められます。

最大公約数は公約数の中で最も大きい数であり、分数の約分や長さを余りなく分ける問題で役立ちます。

数が大きい場合には、素因数分解やユークリッドの互除法を使うと効率的です。

用語の意味だけで終わらせず、具体的な数で約数、公約数、最大公約数を繰り返し求めることで、整数の性質への理解が深まるでしょう。