60の約数は？個数と求め方も解説！（1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60：12個：素因数分解：2²×3×5など）

60の約数を調べる問題では、数を小さい順に並べる方法と、素因数分解から個数を計算する方法の両方を知っておくと便利です。

約数は小学校から中学校までの算数や数学で繰り返し登場し、最大公約数、最小公倍数、分数の約分にもつながる大切な考え方です。

この記事では60の約数を一覧で確認しながら、漏れなく探す手順、約数の個数を求める公式、素因数分解との関係をわかりやすく紹介します。

60の約数一覧と個数

それではまず60の約数一覧と個数について解説していきます。

60を割り切れる正の整数

約数とは、ある整数を割ったときに余りが出ない整数のことです。

60の場合、1から順番に割っていくと、60をちょうど割り切れる正の整数が見つかります。

60の約数は、1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60です。

たとえば60÷3は20、60÷12は5となり、どちらの計算でも余りは出ません。

一方で、60÷7は割り切れないため、7は60の約数には含まれません。

約数を小さい順に並べた一覧

約数は、通常は小さい数から大きい数へ並べて書きます。

60の約数を一覧にすると、数の組み合わせも確認しやすくなるでしょう。

順番	60の約数	対応するかけ算
1番目	1	1×60
2番目	2	2×30
3番目	3	3×20
4番目	4	4×15
5番目	5	5×12
6番目	6	6×10
7番目	10	6×10
8番目	12	5×12
9番目	15	4×15
10番目	20	3×20
11番目	30	2×30
12番目	60	1×60

表を見ると、60の約数には小さい数と大きい数が対になっていることがわかります。

この対を意識すると、約数を探す途中で同じ数を書いたり、書き漏らしたりしにくくなります。

負の約数を含める場合

整数全体で約数を考える場合は、負の整数も約数になります。

60÷マイナス2はマイナス30となるため、マイナス2も60を割り切る数です。

したがって負の約数まで含めるなら、1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60に対応する負の数も加わります。

つまり60の整数の約数は、正の約数12個と負の約数12個を合わせて24個です。

ただし学校の問題文で単に約数と書かれている場合は、正の約数だけを答えることが一般的です。

かけ算の組み合わせによる探し方

続いてはかけ算の組み合わせによる探し方を確認していきます。

積が60になる整数の組

約数を探す基本的な方法は、積が60になるかけ算を考えることです。

1×60、2×30、3×20、4×15、5×12、6×10という組み合わせを順に見つけます。

ここで使われている数はすべて60の約数です。

この6組から取り出せる数を重複なく並べると、60の約数12個が完成します。

かけ算の組で調べる方法は、約数と商の関係を目で確認できる点が大きな利点です。

平方根まで調べる考え方

大きな数の約数を探すとき、1からその数まで全部割る必要はありません。

かけ算の組は中央付近を境に入れ替わるため、平方根まで調べれば相手側の約数もわかります。

60の平方根はおよそ7.7なので、1から7までの整数について60を割り切れるか確認します。

1、2、3、4、5、6は60の約数ですが、7は約数ではありません。

そして、それぞれの商である60、30、20、15、12、10も同時に約数として得られます。

小さい約数を一つ見つけると、大きい約数も一つ決まるという関係を覚えておくと効率的です。

重複を防ぐための注意点

かけ算の組を使う際は、同じ組み合わせを逆向きに数えないよう注意が必要です。

たとえば2×30を見つけた後に30×2も書くと、約数の個数を二重に数えてしまいます。

60では6×10まで確認すれば十分で、10×6以降をあらためて探す必要はありません。

また、平方数では中央の数が一度だけ現れます。

たとえば36では6×6となるため、6を2回書かないことがポイントになります。

60は平方数ではないので、各組から異なる2つの約数が得られ、6組で12個になります。

素因数分解による60の表し方

続いては素因数分解による60の表し方を確認していきます。

60を素数だけの積に分ける手順

素因数分解とは、自然数を素数だけのかけ算で表すことです。

60はまず2で割ることができ、60は2×30と表せます。

30も2×15に分けられ、15は3×5です。

このように、60の素因数分解は2²×3×5となります。

2、3、5はいずれも1と自分自身でしか割れない素数です。

素因数分解は約数の個数だけでなく、公約数や最小公倍数を求める場面でも役立ちます。

指数が示す意味

2²の右上にある2は指数と呼ばれ、2を2回かける意味です。

つまり2²は2×2と同じであり、値は4になります。

60では2が2個、3が1個、5が1個含まれていることが、2²×3×5から読み取れます。

この指数は、約数を作る際に各素数を何個使えるかを表しています。

2については使わない、1個使う、2個使うという3通りがあります。

3と5については、それぞれ使わないか1個使うかの2通りです。

素因数分解で約数を作る方法

60の約数は、2²×3×5に含まれる素因数を必要な数だけ選んで作れます。

たとえば2を1個と3を1個と5を1個選ぶと、2×3×5で30になります。

2を2個だけ選べば4、3と5だけを選べば15です。

何も選ばない場合は、かけ算の出発点である1になります。

選ぶ素因数	できる数	60との関係
選ばない	1	60÷1＝60
2	2	60÷2＝30
2²	4	60÷4＝15
3×5	15	60÷15＝4
2×3×5	30	60÷30＝2
2²×3×5	60	60÷60＝1

この考え方では、約数がなぜ素因数分解と深く結び付くのかを自然に理解できます。

約数の個数を求める公式

続いては約数の個数を求める公式を確認していきます。

指数に1を足してかける計算

素因数分解ができれば、約数の個数は公式で簡単に計算できます。

60＝2²×3¹×5¹なので、各指数に1を足してかけ合わせます。

したがって、60の正の約数の個数は12個と求められます。

実際に一覧で数えた結果とも一致するため、計算の確かめにもなります。

公式が成り立つ理由

公式では、素因数ごとに選べる指数の数を数えています。

2²では、2を使わない2⁰、2を1個使う2¹、2個使う2²の3通りです。

3¹では3⁰と3¹の2通り、5¹でも5⁰と5¹の2通りがあります。

それぞれの選び方は独立しているため、選択肢の数をかけ合わせます。

3通り×2通り×2通りとなり、12通りの約数ができるわけです。

指数に1を足す理由は、使わない場合である0乗も選択肢に含まれるからです。

別の数への応用例

公式は60以外の自然数にもそのまま使えます。

たとえば72を素因数分解すると、72＝2³×3²です。

約数の個数は、3＋1と2＋1をかけて4×3となるため、12個です。

一方で100は2²×5²なので、約数の個数は3×3で9個になります。

数	素因数分解	個数の計算	正の約数の個数
24	2³×3	4×2	8個
36	2²×3²	3×3	9個
60	2²×3×5	3×2×2	12個
72	2³×3²	4×3	12個
100	2²×5²	3×3	9個

数が大きくなっても、素因数分解と指数を使えば、約数を一つずつ書き出さずに個数を判断できます。

60の約数と公約数の活用

続いては60の約数と公約数の活用を確認していきます。

最大公約数を求める場面

公約数とは、二つ以上の整数に共通する約数のことです。

たとえば60と84の公約数を調べる場合、60の約数だけでなく84の約数にもなっている数を探します。

60の約数は1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60です。

84の約数には1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84などがあります。

共通する1、2、3、4、6、12のうち、最も大きい数は12です。

そのため60と84の最大公約数は12になります。

分数の約分への利用

分数を最も簡単な形にする約分では、分子と分母の最大公約数を使います。

たとえば60分の42は、42と60の最大公約数である6で割ることができます。

60の約数を知っていれば、60と共通する割れる数を見つける作業が速くなります。

約数は計算問題だけの知識ではなく、分数を整理する実用的な道具でもあります。

最小公倍数との違い

約数と混同しやすい言葉に、公倍数と最小公倍数があります。

約数はある数を割り切る数であり、公倍数は複数の数で割り切れる数です。

たとえば12と15の最小公倍数は60です。

60は12の倍数であり、15の倍数でもあるため、両方に共通する倍数となります。

一方で12と15の最大公約数は3です。

約数は割る側の数、倍数はかけてできる側の数と区別すると理解しやすいでしょう。

約数問題で間違えやすいポイント

続いては約数問題で間違えやすいポイントを確認していきます。

1を約数から外してしまう誤り

1はすべての自然数の約数です。

60÷1＝60となり、余りなく割れるため、1は必ず60の約数に含まれます。

素因数分解では1は素数でないため使われませんが、約数としては非常に重要です。

約数一覧の最初には1が来ることを覚えておくと、書き漏れを防げます。

また、1の約数は1だけである点も、基本事項として確認しておきましょう。

元の数を約数から外してしまう誤り

60自身も60の約数です。

60÷60＝1となるので、余りはありません。

約数を小さい数だけ並べて終わりにすると、60、30、20など大きい約数を見落とすことがあります。

かけ算の組を使い、1×60の両方を必ず記録すると安心です。

素数と約数を同じ意味にする誤り

素数は、正の約数が1と自分自身の2個だけである自然数です。

2、3、5、7、11などが素数に当たります。

60は約数を12個持つため、素数ではなく合成数です。

ただし60の素因数分解には2、3、5という素数が使われています。

素数は数そのものの性質を表す言葉で、約数は数を割り切る整数を指す言葉です。

この違いを整理すると、素因数分解と約数の個数の問題が解きやすくなります。

60の約数のまとめ

60の正の約数は、1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60の12個です。

かけ算では1×60、2×30、3×20、4×15、5×12、6×10という6組になり、各組から二つずつ約数を確認できます。

60を素因数分解すると2²×3×5となり、指数に1を足してかけると3×2×2＝12です。

この公式を使えば、約数をすべて書き出さなくても個数を求められます。

約数は最大公約数、約分、最小公倍数などにもつながる基礎知識です。

1と元の数を含めること、かけ算の対で考えること、素因数分解で確かめることを意識して、約数の問題に取り組んでみてください。