倍数と約数の違いは？意味と見分け方も解説！（掛ける数と割る数：大小関係：無限と有限：公倍数・公約数：小学5年生など）

倍数と約数の違いは？意味と見分け方も解説！（掛ける数と割る数：大小関係：無限と有限：公倍数・公約数：小学5年生など）

倍数と約数は、どちらも整数のかけ算やわり算に関係する言葉です。

小学5年生で学ぶ内容ですが、似た言葉に見えるため、どちらが大きいのか、どちらが増え続けるのかで迷うことも少なくありません。

この記事では、倍数と約数の意味、見分け方、大小関係、公倍数と公約数までを順に整理します。

具体例を使いながら確認すれば、問題文で問われている数を落ち着いて判断できるようになるでしょう。

倍数と約数の違い

それではまず、倍数と約数の違いについて解説していきます。

かけ算で考える倍数の意味

倍数とは、ある数に整数を掛けてできる数のことです。

たとえば3に1、2、3、4を順に掛けると、3、6、9、12になります。

このとき、3、6、9、12はすべて3の倍数です。

倍数は、もとになる数を何倍かした結果と考えると分かりやすいでしょう。

「3の倍数を答えなさい」と聞かれたら、3に整数を掛けてできる数を探します。

3×5＝15なので、15は3の倍数です。

4×6＝24なので、24は4の倍数でもあり、6の倍数でもあります。

一つの数が複数の数の倍数になることも、計算ではよくあります。

わり算で考える約数の意味

約数とは、ある数を余りなく割り切れる整数のことです。

たとえば12を割り切れる数は、1、2、3、4、6、12です。

したがって、1、2、3、4、6、12は12の約数になります。

約数は、ある数をぴったり分けられる数です。

12÷3＝4となり余りが出ないため、3は12の約数です。

一方で12÷5は余りが出るので、5は12の約数ではありません。

約数を探す問題では、わり算の余りに注目することが大切です。

同じ関係を別の方向から見る考え方

倍数と約数は、実は同じ数の関係を別の向きから見ています。

たとえば12は3の倍数です。

同時に、3は12の約数でもあります。

「12は3の倍数」と「3は12の約数」は、どちらも3×4＝12という関係を表した言葉です。

大きい数を主語にすると倍数、小さい数を主語にすると約数と覚えると、言葉の向きを見失いにくくなります。

かけ算の関係	倍数としての表現	約数としての表現
2×5＝10	10は2の倍数	2は10の約数
3×4＝12	12は3の倍数	3は12の約数
5×6＝30	30は5の倍数	5は30の約数
7×3＝21	21は7の倍数	7は21の約数

倍数と約数の見分け方

続いては、倍数と約数を見分けるための考え方を確認していきます。

問題文で見る数の向き

倍数と約数の問題では、どの数について尋ねられているかを最初に確認します。

「8の倍数」と書かれている場合は、8に整数を掛けてできる数を考えます。

「24の約数」と書かれている場合は、24を余りなく割れる数を探します。

ここで「8」と「24」の位置を入れ替えてしまうと、答えが変わってしまいます。

たとえば24は8の倍数ですが、8は24の倍数ではありません。

反対に8は24の約数ですが、24は8の約数ではありません。

倍数は後に続く数が増えていき、約数は対象の数を分ける側という違いを意識しましょう。

わり算の余りで確かめる方法

ある数が別の数の倍数かどうかは、わり算を使うと確かめられます。

たとえば35が5の倍数かを調べるなら、35÷5を計算します。

答えが7で余りが0なので、35は5の倍数です。

同じ計算から、5は35の約数だとも分かります。

31が4の倍数かを調べると、31÷4＝7余り3です。

余りが出るため、31は4の倍数ではありません。

この場合、4も31の約数ではありません。

九九と整数の組み合わせ

小学校の段階では、九九を使えると倍数と約数を素早く見つけられます。

たとえば18の約数を考えるとき、1×18、2×9、3×6という組み合わせを探します。

かけ算の組が見つかるたびに、両方の数が18の約数になります。

18の約数は1、2、3、6、9、18です。

倍数を見つけるときは、九九の続きとして考えると便利です。

6の倍数なら、6、12、18、24、30と6ずつ増やしていけます。

約数はかけ算の組を探し、倍数は同じ数を足していくという方法も覚えておくとよいでしょう。

大小関係と無限有限の特徴

続いては、倍数と約数の大小関係や個数の特徴を確認していきます。

倍数がもとの数以上になる理由

正の整数の範囲で考えると、ある数の倍数はその数以上になります。

たとえば7の倍数は7、14、21、28と続きます。

最初の7は、7×1でできる倍数です。

その後は7×2、7×3となるため、数は7より小さくなりません。

「7の倍数で7より小さい数」を探す問題なら、正の整数では答えがないことになります。

ただし0を含める考え方では、0も多くの数の倍数として扱われます。

小学校の問題では正の整数を対象にすることが多いため、問題文の条件を丁寧に読みましょう。

約数が対象の数を超えない理由

正の整数の約数は、対象の数以下になります。

たとえば20の約数は1、2、4、5、10、20です。

20より大きい数で20を割ると、商が1より小さくなり、正の整数としてぴったり割ることはできません。

そのため、20より大きい数が20の約数になることはありません。

倍数はもとの数以上、約数は対象の数以下という大小関係は、選択問題でも役立つ基本ルールです。

ただし、1はどの正の整数の約数にもなります。

また、どの正の整数も自分自身の約数です。

無限に続く倍数と有限の約数

倍数は、整数を何倍にもできるため、いくらでも続きます。

2の倍数は2、4、6、8と並び、その先にも終わりはありません。

したがって、ある数の倍数は無限にあります。

一方で、約数は対象の数を割り切れる範囲に限られます。

100の約数はたくさんありますが、無限に増えることはありません。

ある決まった数の約数の個数は有限です。

比べる項目	倍数	約数
考え方	ある数に整数を掛ける	ある数を余りなく割る
数の大きさ	もとの数以上	対象の数以下
個数	無限にある	有限である
例	5、10、15は5の倍数	1、5、10は10の約数

公倍数と公約数の基本

続いては、公倍数と公約数の基本を確認していきます。

二つ以上の数に共通する倍数

公倍数とは、二つ以上の数に共通する倍数のことです。

たとえば4の倍数は4、8、12、16、20、24と続きます。

6の倍数は6、12、18、24、30と続きます。

両方に入っている12、24、36などが4と6の公倍数です。

公倍数は、それぞれの数で割り切れる共通の大きい数として確認できます。

4と6の公倍数を探すときは、二つの倍数を並べて同じ数を見つける方法が分かりやすいでしょう。

数が小さい場合は、この方法だけでも十分に答えられます。

最小公倍数の求め方

公倍数のうち、0以外で最も小さい数を最小公倍数といいます。

4と6の公倍数は12、24、36と続くため、最小公倍数は12です。

分数の通分や、周期がそろう時刻を考える問題でも最小公倍数を使います。

たとえば4日ごとと6日ごとに行う予定があるなら、両方が重なる間隔は12日ごとです。

倍数を順番に書く方法に加え、素因数分解を使う求め方もあります。

ただし小学5年生では、倍数を表にして探す方法を確実にできるようにすることが先でしょう。

4の倍数	6の倍数	共通する数
4、8、12、16、20、24	6、12、18、24、30	12、24
最初に共通する数	12	最小公倍数

二つ以上の数に共通する約数

公約数とは、二つ以上の数に共通する約数のことです。

たとえば18の約数は1、2、3、6、9、18です。

24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24です。

両方に共通する1、2、3、6が18と24の公約数になります。

公約数のうち最も大きい数は、最大公約数です。

18と24の場合、最大公約数は6になります。

公約数は、複数の数を同じ大きさに分けるときに役立つ数です。

小学五年生で押さえる解き方

続いては、小学5年生の問題で押さえたい解き方を確認していきます。

倍数を並べる問題の進め方

倍数を求める問題では、指定された数に1、2、3と順に掛けます。

たとえば9の倍数を小さい順に五つ書くなら、9、18、27、36、45です。

9ずつ足していく方法でも同じ答えになります。

途中で数を飛ばさないよう、掛ける数を順番に増やすことがポイントです。

二桁の倍数だけを探す問題なら、条件に合う範囲だけを書き出します。

7の二桁の倍数は14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98です。

100を超える数は書かないという条件も、答える前に確認しましょう。

約数を漏れなく探す組み合わせ

約数を探す問題では、かけ算の組を小さい数から考える方法が有効です。

たとえば36の約数を調べるとき、1×36、2×18、3×12、4×9、6×6を見つけます。

ここから1、2、3、4、6、9、12、18、36を取り出せます。

同じ組を逆から書く必要はありません。

6×6のように同じ数が並ぶ組では、6を一度だけ書きます。

かけ算の組を一組ずつ確かめれば、約数の書き忘れを減らせます。

文章題で使う公倍数と公約数

文章題では、何をそろえたいのかを考えると公倍数と公約数を選びやすくなります。

二つの周期が同時になる時期を求めるなら、最小公倍数を使う場面が多いでしょう。

たとえば8分ごとと12分ごとに鳴るベルが次に同時に鳴るまでの時間は、8と12の最小公倍数である24分です。

一方で、同じ人数ずつに分ける、同じ長さに切り分けるといった問題では最大公約数を使います。

24個と36個のお菓子を余らせず同じ数ずつ配る場合、最大公約数の12が一つの重要な基準になります。

問題文に「最も短い」「最も大きく分ける」「次に同時」といった言葉があるかを探してみてください。

倍数と約数のまとめ

倍数は、ある数に整数を掛けてできる数です。

約数は、ある数を余りなく割り切れる数になります。

たとえば12は3の倍数であり、3は12の約数です。

倍数は掛ける数、約数は割る数と整理すると、二つの意味を見分けやすくなります。

倍数はもとの数以上で無限に続き、約数は対象の数以下で有限です。

複数の数に共通する倍数が公倍数、共通する約数が公約数になります。

同時に起こる間隔には最小公倍数、余りなく同じ大きさに分ける場面には最大公約数が役立つでしょう。

迷ったときは、小さい数×整数＝大きい数という式を書いて確かめてください。

倍数と約数の向きが見えるようになれば、小学5年生の問題だけでなく、分数や割合を学ぶ際にも土台となる力につながります。