81の約数は？個数と求め方も解説！（1, 3, 9, 27, 81：5個：素因数分解：3⁴：3のべき乗の特徴など）

81の約数は？個数と求め方も解説！（1, 3, 9, 27, 81：5個：素因数分解：3⁴：3のべき乗の特徴など）

81は九九や累乗の計算で登場しやすい数ですが、約数を正確に挙げるには一定の考え方が必要です。

割り切れる数を順番に探す方法でも答えは出せますが、素因数分解を使うと約数の個数まで効率よく求められます。

この記事では、81の約数、約数の個数、素因数分解による求め方、3のべき乗としての特徴を、計算の途中も含めてわかりやすく整理します。

81の約数と個数

それではまず81の約数と個数について解説していきます。

81の正の約数一覧

81を余りなく割れる正の整数は、1、3、9、27、81の5つです。

したがって、81の正の約数は全部で5個となります。

約数	81を割った結果	対応する約数
1	81 ÷ 1 ＝ 81	81
3	81 ÷ 3 ＝ 27	27
9	81 ÷ 9 ＝ 9	9
27	81 ÷ 27 ＝ 3	3
81	81 ÷ 81 ＝ 1	1

約数は、割る数と割った答えが組になる点に注目すると見つけやすくなります。

81では1と81、3と27、そして9と9が対応しています。

約数の組で確認する方法

約数を探すときは、小さい数から順番に割り算を行い、対応する商を一緒に記録する方法が基本です。

81の場合、1で割れば81、3で割れば27、9で割れば9となります。

9を超える約数は、すでに見つけた1、3、9に対応する数として現れます。

このため、81の平方根である9までを調べれば、約数を漏れなく確認できます。

負の約数を含める場合

学校の算数や一般的な約数の問題では、特に指定がなければ正の約数を答えます。

ただし、整数の範囲で約数を考える場合は、負の数も81を割り切れます。

負の約数は、マイナス1、マイナス3、マイナス9、マイナス27、マイナス81の5つです。

正の約数と負の約数を合わせると10個ですが、問題文に約数とだけ書かれている場合は、通常は正の約数である5個を答えるとよいでしょう。

素因数分解による求め方

続いては81を素因数分解して約数を求める方法を確認していきます。

81を3だけで分解する計算

81は3で何度も割り切れる数です。

81を3で割ると27、さらに3で割ると9、さらに3で割ると3、最後に3で割ると1になります。

このように、81の素因数分解は3⁴です。

素因数とは、1と自分自身以外では割り切れない素数のことを指します。

3は素数であり、81は3だけを4回掛けて作られているため、非常にシンプルな形になります。

指数から約数の個数を出す公式

素因数分解ができれば、約数の個数は指数を使って求められます。

ある数が素因数分解でaⁿの形になるとき、正の約数の個数はnに1を足した数です。

なぜ指数に1を足すのでしょうか。

約数を作るとき、3を0個使う1、3を1個使う3、3を2個使う9、3を3個使う27、3を4個使う81という5通りを選べるためです。

0乗を含めて考えることが、約数の個数を数える大切なポイントになります。

素因数が複数ある数との違い

81のように素因数が1種類だけの数では、約数の個数は指数に1を足すだけで求められます。

一方で、素因数が複数ある数は、それぞれの指数に1を足して掛け合わせます。

たとえば72は、2³と3²を掛けた数です。

72の約数の個数は、3に1を足した4と、2に1を足した3を掛けて12個になります。

3のべき乗の特徴

続いては81が持つ3のべき乗としての特徴を確認していきます。

3の累乗に並ぶ81の位置

3のべき乗は、3を何回掛けるかによって順番に大きくなります。

指数	3のべき乗	数
0	3⁰	1
1	3¹	3
2	3²	9
3	3³	27
4	3⁴	81
5	3⁵	243

81は3の4乗であり、3の累乗の中では1、3、9、27の次に位置します。

前の数に3を掛けると次の数になるため、9に9を掛けても81になります。

約数もすべて3のべき乗になる理由

81の約数が1、3、9、27、81だけになるのは、81が3だけで構成されているためです。

約数は元の数を割り切れる必要があるため、81に含まれない素因数である2、5、7などを使うことはできません。

結果として、81の約数は3⁰、3¹、3²、3³、3⁴という形に限られます。

素因数が1種類のべき乗では、約数も同じ素因数のべき乗だけになるという規則があります。

この考え方は16が2⁴、125が5³である場合にもそのまま使えます。

完全平方数としての81

81は9を2回掛けた数でもあるため、完全平方数です。

81 ＝ 9²と表せるので、平方根は正の9と負の9になります。

約数を組にして考えたとき、9と9が同じ組になるのは、81が完全平方数だからです。

平方根が整数になるかどうかを確かめると、約数の並び方も理解しやすくなるでしょう。

約数を漏れなく探す手順

続いては81の約数を実際の割り算で探す手順を確認していきます。

1から平方根まで試す考え方

大きな数の約数を探すとき、1からその数まで全部試す必要はありません。

平方根までの整数で割り切れるかを調べれば、対応する大きい約数も同時にわかります。

81の平方根は9なので、1から9までを確認します。

調べる数	81を割り切れるか	判断
1	割り切れる	1と81を記録
2	割り切れない	記録しない
3	割り切れる	3と27を記録
4から8	割り切れない	記録しない
9	割り切れる	9を1回だけ記録

この方法なら、重複を避けながら短い計算で約数を列挙できます。

割り切れるかを判断するコツ

81は奇数なので、2で割り切れません。

また、下一桁が0または5ではないため、5でも割り切れないことがすぐにわかります。

3の倍数かどうかは、各位の数字を足して判断できます。

81では8と1を足すと9になり、9は3の倍数です。

そのため81は3の倍数であり、さらに3で割った27も3の倍数なので、3を繰り返し使った数だと見当を付けられます。

各位の和が3の倍数なら、元の数も3の倍数というルールは素因数分解にも役立ちます。

約数と倍数を混同しない注意点

約数は、ある数を余りなく割れる数です。

倍数は、ある数に整数を掛けて作られる数を指します。

81の約数は1、3、9、27、81ですが、81の倍数は81、162、243、324のように無限に続きます。

関連する数との比較

続いては81に近い数や同じ性質を持つ数と比較して確認していきます。

27と81と243の関係

27、81、243は、いずれも3のべき乗として連続する数です。

27は3³、81は3⁴、243は3⁵と表せます。

数	素因数分解	正の約数の個数	正の約数の例
27	3³	4個	1、3、9、27
81	3⁴	5個	1、3、9、27、81
243	3⁵	6個	1、3、9、27、81、243

指数が1増えるたびに、約数の個数も1個ずつ増えます。

これは素因数が3だけである限り、選べる指数が0から最大指数まで1つずつ増えるためです。

16や25との共通点

16は2⁴、25は5²、81は3⁴です。

使われている素数は異なりますが、どれも1種類の素数を繰り返し掛けた数という共通点があります。

16の約数は1、2、4、8、16で5個となり、81と同じ個数です。

これは16も81も指数が4だからです。

約数の個数は数の大きさではなく、素因数分解における指数の組み合わせで決まります。

100や72との違い

100は2²と5²を掛けた数であり、81とは異なって2種類の素因数を持ちます。

そのため、100の正の約数の個数は3と3を掛けた9個です。

72も2と3の両方を含むため、約数の種類が増えます。

81は素因数が3だけなので、約数の形が整然としており、約数の問題の基本を学ぶ題材に向いています。

素因数分解を見て、使われている素数が何種類あるかを確かめる習慣を付けるとよいでしょう。

まとめ

81の正の約数は、1、3、9、27、81の5個です。

81は3⁴と素因数分解できる3のべき乗であり、指数4に1を足すことで約数の個数が5個だとわかります。

約数は1と81、3と27、9と9という組で確認できます。

81が完全平方数であることから、9は自分自身と対応する約数になります。

また、約数を探す際は平方根である9までを調べれば十分です。

素因数分解、指数、平方根、約数の組を結び付けて考えることで、81だけでなく他の整数の約数問題にも対応しやすくなるでしょう。