倍数と公倍数は、どちらも数の規則性を考えるときに重要な言葉です。
似た名称のため混同しやすいものの、倍数は1つの数を基準にし、公倍数は複数の数に共通する倍数を指します。
算数の文章問題、分数の通分、周期が重なる時刻の計算など、学習や日常の場面で役立つ考え方です。
この記事では、意味の違いから求め方、最小公倍数、ユークリッドの互除法との関係まで、例を交えてわかりやすく解説します。
倍数と公倍数の意味
それではまず、倍数と公倍数の意味について解説していきます。
倍数は1つの数を何回か足した数
倍数とは、ある数に1、2、3といった整数を掛けてできる数です。
たとえば3の倍数には、3、6、9、12、15、18などがあります。
3を1回分、2回分、3回分と増やしていくイメージを持つと理解しやすいでしょう。
つまり、ある数で割ったときに余りが出なければ、その数の倍数と判断できます。
12は3で割り切れるため、12は3の倍数です。
一方で13を3で割ると1余るため、13は3の倍数ではありません。
3の倍数の例
3×1＝3
3×2＝6
3×3＝9
3×4＝12
倍数では、基準となる数は1つだけです。
この点が、公倍数との最も大きな違いになります。
公倍数は複数の数に共通する倍数
公倍数とは、2つ以上の数に共通している倍数です。
たとえば4と6の公倍数を考えてみましょう。
4の倍数には4、8、12、16、20、24、28、32などがあります。
6の倍数には6、12、18、24、30、36などがあります。
両方の並びに入る12、24、36は、4と6の公倍数です。
公倍数を探すときは、それぞれの倍数を書き出して、共通する数を見つけます。
公倍数は、複数の数を同時に割り切れる数ともいえます。
たとえば24は4でも6でも割り切れるため、4と6の公倍数です。
倍数と公倍数の違い一覧
倍数と公倍数は、基準にする数の個数に注目すると整理できます。
| 比較する項目 | 倍数 | 公倍数 |
|---|---|---|
| 基準にする数 | 1つ | 2つ以上 |
| 意味 | ある数を整数倍した数 | 複数の数に共通する倍数 |
| 例 | 5の倍数は5、10、15 | 4と6の公倍数は12、24、36 |
| 調べ方 | 基準の数に整数を掛ける | 各数の倍数から共通部分を探す |
| 主な活用場面 | 割り切れるかの確認 | 通分や周期の計算 |
たとえば10は5の倍数ですが、10と15の公倍数ではありません。
10と15のどちらでも割り切れる数である30、60、90などが公倍数です。
倍数は1つの数との関係を表す言葉です。
公倍数は複数の数に共通する関係を表す言葉として覚えると、問題文を読み違えにくくなります。
倍数の求め方
続いては、倍数の求め方を確認していきます。
掛け算で順番に求める方法
倍数を求める基本は、基準となる数に1から順番に整数を掛ける方法です。
7の倍数を求めるなら、7×1、7×2、7×3と計算します。
7の倍数
7×1＝7
7×2＝14
7×3＝21
7×4＝28
7×5＝35
このように、7、14、21、28、35が並びます。
小学生の段階では、九九を使える数なら九九の表を利用するのも便利です。
たとえば6の倍数は、6の段をそのまま見れば6、12、18、24と確認できます。
倍数は無限に続くため、最後の数はありません。
割り算で倍数かどうか確かめる方法
ある数が特定の数の倍数か確認したいときは、割り算を使います。
45が9の倍数かを確かめる場合、45÷9＝5となり余りがありません。
したがって45は9の倍数です。
反対に、46÷9を計算すると余りが出ます。
このため46は9の倍数ではありません。
問題では、数を全部書き出すよりも、割り算で素早く確かめる場面が多くあります。
特に大きな数を扱うときは、割り切れるかどうかを確認する方法が効率的です。
倍数の見分け方と倍数判定法
一部の数には、計算を簡単にする倍数判定法があります。
2の倍数は、一の位が0、2、4、6、8のいずれかなら判定できます。
5の倍数は、一の位が0または5である数です。
10の倍数は、一の位が0になります。
3の倍数と9の倍数は、各位の数字を足して判断します。
| 基準となる数 | 簡単な判定の目安 | 例 |
|---|---|---|
| 2 | 一の位が偶数 | 128は2の倍数 |
| 3 | 各位の和が3の倍数 | 123は1＋2＋3＝6のため3の倍数 |
| 4 | 下2桁が4の倍数 | 316は16が4の倍数のため4の倍数 |
| 5 | 一の位が0か5 | 275は5の倍数 |
| 9 | 各位の和が9の倍数 | 729は7＋2＋9＝18のため9の倍数 |
| 10 | 一の位が0 | 430は10の倍数 |
倍数判定法を覚えると、筆算をしなくても答えに近づけます。
ただし、判定法を暗記するだけでなく、割り切れることとのつながりを理解することが大切です。
公倍数と最小公倍数の求め方
続いては、公倍数と最小公倍数の求め方を確認していきます。
倍数を書き出して共通する数を探す方法
最初に学ぶ公倍数の求め方は、各数の倍数を書き出す方法です。
たとえば3と5の公倍数を求めます。
3の倍数は3、6、9、12、15、18、21、24、27、30と続きます。
5の倍数は5、10、15、20、25、30と続きます。
共通する15、30、45が公倍数です。
3と5の公倍数
最初に共通する数は15
次に共通する数は30
さらに45、60と続く
小さい数なら、この方法は目で追いやすく、意味をつかむのに向いています。
一方で基準となる数が大きい場合は、書き出す数が増えるため別の方法も役立ちます。
最小公倍数の意味と役割
最小公倍数とは、公倍数のうち最も小さい正の整数です。
3と5の公倍数は15、30、45と続きますが、最小公倍数は15です。
最小公倍数は、分数の通分で特に重要になります。
たとえば3分の1と5分の1を足す場合、分母の3と5の最小公倍数は15です。
そこで3分の1を15分の5にし、5分の1を15分の3にすると計算できます。
最小公倍数は、複数の条件が最初にそろう数を知りたいときの基準です。
2つの信号が同時に点灯する時刻や、異なる間隔で動く仕組みが再び重なる時刻を調べる問題にも使われます。
公倍数は複数存在します。
最小公倍数は、その中で最初に現れる最も小さい正の数です。
素因数分解を使って最小公倍数を求める方法
数が大きくなると、素因数分解を使う方法が便利です。
素因数分解とは、数を素数の掛け算に分けて表すことです。
たとえば12は2×2×3、18は2×3×3と表せます。
12と18の最小公倍数を求めるときは、必要な素因数を不足なく集めます。
12＝2²×3
18＝2×3²
2を2個と3を2個そろえる
2²×3²＝36
したがって最小公倍数は36
指数が異なる同じ素数は、大きいほうの個数を採用します。
12には2が2個あり、18には3が2個あるため、その両方を含む36が最小の共通倍数になります。
素因数分解では、すべての数を割り切れるために必要な素因数だけをそろえることがポイントです。
最大公約数とユークリッドの互除法
続いては、最大公約数とユークリッドの互除法を確認していきます。
公約数と最大公約数の意味
公約数は、公倍数とは反対方向から数の関係を見る考え方です。
公約数とは、複数の数をどちらも割り切れる数を指します。
たとえば12と18の約数を書き出すと、12の約数は1、2、3、4、6、12です。
18の約数は1、2、3、6、9、18です。
共通する1、2、3、6が公約数であり、その中で最大の6が最大公約数です。
最小公倍数が共通する倍数の最小値であるのに対し、最大公約数は共通する約数の最大値になります。
最小公倍数と最大公約数は、セットで出題されやすい重要な用語です。
最小公倍数と最大公約数の関係
2つの正の整数には、最小公倍数と最大公約数の便利な関係があります。
2つの数をaとbとすると、a×bは最小公倍数と最大公約数の積に等しくなります。
a×b＝最小公倍数×最大公約数
12と18の場合
12×18＝216
最小公倍数36×最大公約数6＝216
この関係を使えば、最大公約数がわかっている場合に最小公倍数を求められます。
ただし、この式は基本的に2つの数について使う公式です。
3つ以上の数を扱うときは、素因数分解や段階的な計算で考えるほうがわかりやすいでしょう。
ユークリッドの互除法による最大公約数
ユークリッドの互除法は、大きな数同士の最大公約数を効率よく求める方法です。
大きい数を小さい数で割り、余りが出たら次は小さい数を余りで割ります。
この操作を余りが0になるまで続け、最後に割る数として残ったものが最大公約数です。
252と105の最大公約数
252÷105＝2余り42
105÷42＝2余り21
42÷21＝2余り0
最大公約数は21
最大公約数が21とわかれば、最小公倍数は252×105÷21で求められます。
計算すると1260になります。
互除法は、倍数を延々と書き出さずに大きな数を扱える方法です。
中学校以降の数学でもよく使われるため、考え方を知っておくと役立ちます。
小学生向けの理解と文章問題
続いては、小学生向けの理解と文章問題を確認していきます。
九九と数直線を使う考え方
倍数は九九の延長として考えると、初めて学ぶ子どもにも伝わりやすくなります。
4の倍数なら、4、8、12、16と4ずつ進む数の並びです。
数直線に印を付けると、一定の間隔で数が現れることを視覚的に確認できます。
3の倍数には3ずつ、5の倍数には5ずつ印を付けます。
両方に印が付く場所が、公倍数になります。
最初に重なる15が、3と5の最小公倍数です。
公倍数は、異なる間隔で進む数が同じ場所に重なる場面として考えると理解しやすいでしょう。
周期が重なる文章問題
公倍数は、繰り返し起こる出来事の問題で使われます。
たとえば赤いランプは4秒ごと、青いランプは6秒ごとに点灯するとします。
同時に点灯した直後から数えると、再び同時に点灯するのは4と6の最小公倍数である12秒後です。
この場合、4秒ごとの並びは4、8、12、16です。
6秒ごとの並びは6、12、18です。
最初に一致する12秒が答えになります。
文章問題では、何秒ごと、何日ごと、何個ずつといった繰り返しの言葉に注目します。
複数の繰り返しが再び同時になる場面では、最小公倍数を使う可能性が高いと考えられます。
分数の通分で使う場面
最小公倍数は、分数の通分にも欠かせません。
4分の3と6分の5を比べるときは、分母の4と6を同じ数にそろえます。
4と6の最小公倍数は12です。
4分の3は12分の9に、6分の5は12分の10にできます。
これにより、12分の10のほうが12分の9より大きいと比べられます。
分母を24や36にそろえることもできますが、最小公倍数を使うと数字を必要以上に大きくせずに済みます。
通分の計算ミスを減らすためにも、分母の最小公倍数を見つける練習が有効です。
倍数と公倍数のまとめ
倍数は、1つの数に整数を掛けてできる数です。
公倍数は、複数の数に共通する倍数であり、複数の数をすべて割り切れます。
たとえば4と6では、12、24、36などが公倍数になります。
そのうち最も小さい正の数が最小公倍数です。
小さい数なら倍数を書き出す方法で求められます。
大きな数では、素因数分解や最大公約数との関係を利用すると計算しやすくなるでしょう。
ユークリッドの互除法は最大公約数を求める効率的な方法であり、最小公倍数の計算にもつながります。
倍数は1つの数、公倍数は複数の数という違いを押さえることが基本です。
分数の通分や周期の文章問題では、最小公倍数が何を表すのかを考えながら使うと、答えの意味まで理解できます。
